[수학] 매년 이맘 때 (11/11) 돌아오는 가래떡 소수 이야기 (2025년 업데이트)

오늘, 11/11일은 '빼** 데이', '십*절', 영어로는 'Singles' Day' 하는 식으로 나름 상업적 목적이 담긴 이름이 붙어 있습니다.

이 글에서는 수학이 다루는 대상에서 가장 신비한 것 중 하나인 '소수'.
11월 11일과 관련지어, 1로만 이루어진 소수를 찾아볼까 합니다.
예전엔 (물론 비공식적으로) '빼빼로 소수'라 불렀지만, 굳이 일개 기업 제품 광고해줄 필요는 없으니 신토불이 정신으로 가래떡 소수라 불러보겠습니다.

크기 순으로 가래떡 소수를 나열해 보도록 하지요.

0) 1은 소수도 합성수도 아니기로 했으니 여기선 제외합니다.

1) 11 은 소수(prime)입니다. 즉 1과 자기 자신 외 약수를 갖지 않습니다.

111=3*37 이므로 소수가 아닙니다.

1111은 당연히 11로 나누어지겠죠? 좀더 일반적으로 말하면 1이 합성수 개수만큼 있으면 그 수는 절대로 소수가 될 수 없습니다. (예를 들자면 111111은 1이 여섯 개 있으니 11로도, 111로도 나누어진다는 말씀.) 그러므로 앞으로는 '1이 소수 개수만큼 있는 것'만 따져보면 됩니다.
(고등학교 교과서처럼 표현하자면 '1만을 나열하여 만든 수가 소수가 될 필요조건은 1이 소수개 있는 것이다.')
물론 이게 충분조건이 되었으면 좋겠지만

애석하게도 11111=41*271 이 되네요.

애석하게도 (2) 1111111=239*4649

애석하게도 (3) 11111111111=21649*513239

애석하게도 (4) 1111111111111=53*79*265371653

애석하게도 (5) 11111111111111111=2071723*53632223357 입니다.

연달아 다섯 후보가 내리 실패.


2) 드디어 나타났습니다.

1111111111111111111 은 소수 맞습니다, 맞고요~ 즉 두번째 가래떡 소수 되겠습니다.

3) 놀랍게도, 바로 그 다음 후보

11111111111111111111111 역시 소수가 맞네요? 세번째 가래떡 소수가 금방 나타났습니다.

하지만 애석하게도 (6) 그 다음 후보

11111111111111111111111111111=3191*16763*43037*62003*7784839397 이 되어버리네요.

도대체 네번째 가래떡 소수는 어드메 쯤에 있을까요?


4) 여기 있네요.

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요놈이 네번째 가래떡 소수 되겠습니다.


5) 다섯 번째는?

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입니다.


6) 여섯 번째는?

2022년 아래 수가 실제로 소수임이 입증되었습니다!

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7) 2023년 다음 수가 일곱 번째 가래떡 소수임이 밝혀졌습니다!

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8) (업데이트) 올해, 2025년 5월, 여덟 번째 가래떡 소수가 밝혀졌습니다!!!!!

바로 이 녀석.

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2025년 11월 현재,

가래떡 소수 후보이지만 아직 검증을 완료하지 못한 후보는 셋 정도가 더 알려져 있습니다. 이들 대부분은 2021년 후보로 등록(?)된 것들인데, 우연히도(?) 1년에 1개 꼴로 검증이 되는 형국이군요.
이 중 가장 큰 것, 즉 11번째 가래떡 소수 후보는...

간단히 쓰면 [10^{8177201}-1] / 9,
즉 1을 8백1십7만,7천2백1개 나열하면 넘입니다.

2024년 현재 천만 개 이내 나열한 것 중에서 '후보'를 찾아내는 작업은 위 언급한 11개를 끝으로 마무리된 상태이며 그 위로 얼마나 더 있어야 12번째 후보가 나타날지는 짐작도 가지 않습니다만,

그래도 이런 가래떡 소수는 '무한히 많을 것이다' 라는 것이 수학하는 이들의 일반적인 예상이긴 합니다.

에필로그) 유명한 '메르센 소수' - 완전수와 대단히 밀접한 관계가 있는- 도 이런 '가래떡 소수'의 일종입니다.
2^p - 1 꼴이니 2진법으로 쓰면 가래떡 수가 되겠지요.
메르센 소수는 역사적으로도 유서가 깊다 보니 많은 이들이 이를 찾아내려 도전했고,

2024년 10월 (2025년 11월 현재까진 최신)

52번째 메르센 소수를 발견하였습니다!!!

2^{1억3천6백2십7만9천8백4십1}-1

최초로 지수에 1억이 넘는, 그러다보니 십진법으로 전개했을 때 4천1백2반4천3백2십이라는 괴물 같은 자리수를 갖는 소수입니다. 인류가 현재 알고 있는 가장 큰 소수이기도 하고요. (물론, 소수는 무한히많기에 이 괴물보다 훨씬 큰 소수 또한 무궁무진합니다.)

올해 업데이트는 여기까지,
과연 내년에 아홉 번째를 추가할 수 있을지 궁금하네요ㅎㅎㅎ